Times, Sunday Times (2016)

Times, Sunday Times (2016)

Times, Sunday Times (2016)

Times, Sunday Times (2016)

Солнце (2017)

Солнце (2016)

Солнце (2016)

Times, Sunday Times (2016)

The Sun (2016)

Times, Sunday Times (2016)

Подробнее …

Times, Sunday Times (2012)

The Sun (2009)

Times, Sunday Times (2008)

Times, Sunday Times (2012)

Солнце (2014)

Солнце (2014)

Times, Sunday Times (2009)

Солнце (2010)

Солнце (2008)

Христианство сегодня (2000)

Times, Sunday Times (2007)

Times, Sunday Times (2008)

The Sun (2011)

Солнце (2008)

Солнце (2012)

Солнце (2012)

Солнце (2011)

Солнце (2016)

The Sun (2010)

Times, Sunday Times (2012)

Солнце (2012)

Times, Sunday Times (2006)

Адмирал Сэнди Вудворд, с Патриком Робинсоном СТО ДНЕЙ (2003)

Times, Sunday Times (2013)

Times, Sunday Times (2015)

Детройт: самый захватывающий город в Америке?

Я встретился с группой мотивированных студентов старших классов и колледжей, которые работали с Филом Кули, соучредителем бизнес-инкубатора Ponyride, и Беном Вольфом, производителем дизайна / сборки, над строительством Dequindre Cut Freight Yard, переносное кафе, Д.Стенд J. и павильон полностью выполнены из модульных транспортных контейнеров.

«Это круто — менять место, где я живу, — сказал Хосе Васкес, тихий выпускник Западной международной средней школы.

«Напомните мне рассказать вам о моем следующем проекте, — сказал мистер Вольф, когда я уходил.

В Детройте всегда есть следующий проект. Такая изобретательность распространена в городе. На следующий день после моего бутлегерского Slow Roll я посетил Recycle Here !, который внешне напоминает обычный пункт сдачи вторсырья: пластик идет сюда, газета туда.Переработайте здесь! была основана в 2005 году Мэтью Наими, коренастым бородатым мужчиной со смехом бочонка и здоровым чувством сюрреализма. В то время в городе не было официальной программы утилизации. Субботние выходные дни, такие как Slow Roll, быстро стали общественными мероприятиями. Все вышли, обменяли старый хлам и начали строить странные скульптуры из мусора.

«А если у вас будет центр по переработке отходов, то вам, очевидно, понадобятся помещения для репетиций», — засмеялся г-н Наими. Очевидно.Этот дух утилитарно-активистско-креативного подхода изобилует в обширном объекте Recycle Here!, Который включает в себя парк искусств Линкольн-стрит, эгалитарное пространство повторного использования и сотрудничества, а также место более чем одной легендарной вечеринки на открытом воздухе (девиз: «Поделись своей конфетой» , ”Отображается на видном месте). Переработайте здесь! также проводит активную программу внеклассных занятий и лагерей, которая обучает молодых людей бережному отношению к окружающей среде и устойчивости.

Я много думал об устойчивом развитии во время своего пребывания в Детройте.Мы склонны рассматривать устойчивые города с точки зрения зеленой архитектуры, возобновляемых источников энергии, с упором на инновационный общественный транспорт. По многим из этих показателей Детройт продолжает бороться, отчасти потому, что его население разбросано по такой огромной территории, около 139 квадратных миль, из которых 40 квадратных миль, площадь почти вдвое больше Манхэттена, пусты.

Волнующие времена: Роман: 9780062968746: Долан, Наойс: Книги

« Наполовину любовный треугольник Салли Руни, наполовину блестящий Безумно богатые азиаты богатых людей — и гарантированно доставят удовольствие ».
— Vogue

«Эдна О’Брайен. Тана Френч. Салли Руни. Появляется такая же ирландка Долан, чей знающий, великолепно подмеченный дебютный роман отмечает молодого автора как главную силу. Этот сардонический ромкома повествует о выходках 22-х годов прошлого века. -летняя Ава, бессистемная учительница тысячелетия за границей в Гонконге, где она знакомится с Джулианом, отстраненным британским банкиром, и Эдит, богатым китайским юристом.За этим следует очаровательно невротический любовный треугольник во время экономических и экзистенциальных потрясений ». — O, журнал Oprah Magazine

.« Менее чем на 250 страницах [Долан] уловил пробный камень тысячелетнего противоречия между сардонизмом и искренностью — электрический двойственность понимания того, как быть человеком в эти времена … У Долана застегнутое красноречие, напряженные фразы и острые углы … Exciting Times — забавный роман (и ха-ха, и странный), сопротивляющийся притяжению мелодрамы в пользу острой точки зрения и сильного внимания к языку.. . . [и] действительно занимается тем, как класс, неравенство и политика проявляются в общественной жизни ». — Los Angeles Times

«Это погружение в человеческое сознание. . . отделяет Долан от землячки, с которой ее часто сравнивают, писательницы Салли Руни («Нормальные люди»). В то время как оба писателя имеют дело с классом, предлагая резкие наблюдения, Долан идет дальше, чтобы осознать, почему мы вообще с этим мирились ». — Washington Post

«Долан дает резкие комментарии о пересечении стремления, класса и власти.»- Time

» Кривый, стильный …. В этой остроумной сатире на имущих и неимущих Долан исследует нежные, проницательные истины о капризах современной любви. «
— Esquire

« Чудесно интуитивно понятный. и текучесть… Исследование секса, эксцентричности, саботажа, власти и привилегий ». — The New Yorker

«Любовный треугольник, какого вы никогда раньше не видели… Ироничный и сардонический, Долан неустанно исследует невыразимые истины о любви, классицизме и амбициях.»- Marie Claire

« История любви, полная иронии и самоанализа ». — Elle

«Резкий и забавный…. Смелый, язвительный голос [Долана] оригинален и, порой, неотразим… Это проницательный роман, в котором рассматриваются серьезные идеи.… Роман Долана — криво и измученный, но все же иногда с надеждой — понимает эту нестабильную эпоху ». — Minneapolis Star Tribune

«Преобладающий опыт работы [Долана] — это опыт воодушевления.« Exciting Times »- это произведение феноменальной остроты и страсти, которое, благодаря свежести его опасений и авторитету его голоса, назидательна, забавна, нежна, податлива и богата чувствительностью человека, который, обреченный на условия, не созданные ею, находит пространство, необходимое ей для полета, и который действует как человек, которым она была.»- Seattle Times

« Забавный, проницательный и бесстрашный — победный дебют ». — Хилари Мантел

«Бодрое, воодушевляющее чтение… Иронично и остроумно, Долан тыкает и подталкивает ко всем тем вещам, которыми все не могут не зацикливаться: сексом и деньгами и, знаете ли, сексом и деньгами. »
— Refinery 29

«Несомненно, один из самых ожидаемых дебютов года … Пронзительно провокационный взгляд на современные игры о любви и силе». — Book Riot

«У Долана есть ухо к смеси инсинуаций, намеков, тихих браней, глубокого беспокойства и непоколебимой любви в ирландском голосе матери.Это безупречно. Как Ава слушает Джулиана, своего английского парня из высшего сословия. Долан анализирует, как английский язык и ирландское ухо пытаются понять друг друга ». — Colm Tóibín, WSJ Magazine

«Экспертная проза …. Говорит с особым уровнем интеллекта и осведомленности, с двойственным отношением к участию в капиталистической экономике, одновременно стремясь быть частью и частью мира «. — Литературный центр

«Захватывающий диалог, богатый внутренний мир и проницательное письмо о деньгах, политике и классе.. . Умный и глубокий роман о сексе, связях и сложностях самовыражения ». — Список книг (обзор со звездочкой)

«Озабоченность Долана властью часто выражается в юморе, но всегда умело замечена. Ее элегантно простое письмо позволяет сиять ее идеям и размышлениям. Освежающий и проницательный дебют». — Kirkus Обзоры

«[A] Кривой, нежный дебют… Умный, бойкий дебют Долана превращается в очаровательную комедию манер». — Publishers Weekly

«Яростно умный, зверски забавный и написанный с таким сердцем, Exciting Times объявляет о новом впечатляющем голосе в литературе.»- Натан Филер, автор книги« Шок осени »

« [ Exciting Times ] изобилует пониманием класса, расы, языка и сексуальности. Вероятно, чтобы заполнить дыру в форме Салли-Руни в жизни многих читателей ». — Irish Times

«Забавная, умная, современная история любви». — Sunday Times (Лондон)

«Exciting Times — это постоянное развлечение». — Telegraph (UK)

«Whipsmart … Современная история любви … Exciting Times — впечатляющий интеллектуальный дебют, написанный с бодростью и юмором … новая звезда ирландского письма.»- Irish Times

» Ослепительно… С Exciting Times приходит редкий и действительно захватывающий талант, какофония нашего времени, удовольствие для социально дистанцированных «. — Irish Independent

» Очень забавно … Чрезвычайно остро — и острый, и терпкий… Бодрящий, освежающий первый роман ». — Observer

« Я не удивлюсь, если он станет летней книгой… Богатая, остроумная история, созданная из трений и сложностей. юной любви… Восхищал меня до последней страницы.»- The Times (Великобритания)

» Чудесно проницательный писатель-комикс, искусно остроумный в язвительных традициях Дороти Паркер, Джоан Риверс и Норы Эфрон… [Ава ] — кислая сестра Бриджит Джонс, или Бриджит Джонс, замаринованная в уксусе… Я обнаружила, что мурлыкаю от удовольствия. Мне понравился снимок Exciting Times и его укус… Это комикс высочайшего уровня ». — Daily Mail (Великобритания)

« Встречайте новую Салли Руни … Это может звучать как преувеличение, но это Сказка приносит свежие и актуальные взгляды на современную любовь, которые сделают ее хитом среди любителей Нормальных людей .»- Стилист (Великобритания)

« Великолепный дебют… Письмо Долан точное, едкое и завидно хорошее, а ее персонажи отлично прорисованы. »- Evening Standard (Лондон)

« Свежий и забавный дебют о любви и самопознание… впечатляющее и мощное »- The Guardian

« Что отличает Долана, так это ее юмор. ЗАБЫВАЮЩИЕ ВРЕМЯ пронизаны резкими одинарными вставками и остроумной игрой. Фантастический первый роман. «- Метро.

Планирование мероприятий | Захватывающие события

Мы являемся полноценной производственной компанией, расположенной в районе Милуоки, и предоставляем самые ЛУЧШИЕ

Организация мероприятий, Освещение мероприятий, Декор мероприятий,

Производство видео, производство звука и спецэффекты на Среднем Западе и в стране!

Планирование мероприятий, Производство мероприятий, Продажа мероприятий, Аренда событий, Аудио событий, Видео событий, Освещение событий, Прокат аудио, Прокат видео, Аренда освещения, События Среднего Запада, События Милуоки, События Чикаго, События Лас-Вегаса, События Орландо, События Лос-Анджелеса, События Хьюстона, События Ваукеша, События расина, События Женевского озера, Тематические мероприятия, Корпоративные мероприятия, Планирование корпоративных мероприятий, Аренда корпоративных мероприятий, Аренда корпоративного освещения, Аренда корпоративного аудио, Аренда корпоративного видео, Некоммерческие мероприятия, Гала-концерт для некоммерческих организаций , некоммерческое аудио, некоммерческое видео, освещение для некоммерческих организаций, гала-концерты, прогулки и аттракционы, спецэффекты, аукционист мероприятий, индивидуальный декор, индивидуальный реквизит, аренда индивидуального декора, аудио DNC, видео DNC, освещение DNC, мероприятие VIP DNC, DNC встреча, вечеринка DNC, Пфистер, Хилтон, Марриотт Милуоки, Музей Харли Дэвидсона, Итальянский общественный центр, Висконсинский центр, Выставка-ярмарка штата Висконсин, видеостена, декорации, надувные лодки, поли стена, акриловая мебель, светодиодная мебель, ГОБО , регистрационные знаки, индивидуальная печать, нестандартная графика, создание видеоконтента, видеомэппинг, чертежи САПР, видеолестница, конфетти, растяжки, новогодняя вечеринка, новогодняя вечеринка, новогодняя вечеринка, национальный танцевальный конкурс, танцевальный конкурс, региональный конкурс, majic productions, студийное оборудование, clearwing productions, Logan productions, FROGmouth productions, креативный звук, аудиовизуальная аренда, корпоративная аудиовизуальная продукция, сбор средств на мероприятия, Take7 Productions, Plum Media, Tri-Marq, Underwood Events, тематические мероприятия Gatsby, wizard of oz themed мероприятия, подводные мероприятия, мероприятия на тему денима и бриллиантов, мероприятия на тему дерби в Кентукки, Национальная конференция Демократической партии, Национальная аренда демократических мониторов, Аренда больших мониторов

Захватывающие синонимы, захватывающие антонимы — FreeThesaurus.com

Практический пример COVID-19

Abstract

Процессы Хокса — это форма самовозбуждающего процесса, который использовался во многих приложениях, включая нейробиологию, сейсмологию и терроризм. Хотя эти самовозбуждающие процессы имеют простую формулировку, они могут моделировать невероятно сложные явления. Традиционно процессы Хокса представляют собой процесс с непрерывным временем, однако мы позволяем применять эти модели к более широкому кругу задач, рассматривая вариант процессов Хокса с дискретным временем.Мы проиллюстрируем это на примере нового коронавирусного заболевания (COVID-19) в качестве предметного исследования. В то время как альтернативные модели, такие как компартментные модели и модели кривой роста, широко применялись к эпидемии COVID-19, использование процессов Хокса с дискретным временем позволяет нам получить альтернативные идеи. В этой статье оценивается возможность процессов Хокса с дискретным временем путем моделирования ежедневного подсчета смертности как отдельных фаз вспышки COVID-19. Сначала мы рассмотрим начальную стадию экспоненциального роста и последующее снижение по мере того, как превентивные меры станут эффективными.Затем мы исследуем последующие этапы с более свежими данными. Рассмотрены различные страны, которые пострадали от эпидемии, а именно Бразилия, Китай, Франция, Германия, Индия, Италия, Испания, Швеция, Великобритания и США. Все эти страны уникальны с точки зрения распространения вируса и соответствующих мер реагирования. Однако мы обнаружили, что эта простая модель полезна для точного отражения динамики процесса, несмотря на скрытые взаимодействия, которые не моделируются напрямую из-за их сложности, а также различия как внутри стран, так и между ними.Полезность этой модели не ограничивается текущей эпидемией COVID-19, скорее, эта модель может объяснить многие другие сложные явления. Интересно иметь простые модели, адекватно описывающие эти сложные процессы с неизвестной динамикой. По мере того, как модели становятся более сложными, для экономии может потребоваться более простое представление процесса.

Образец цитирования: Browning R, Sulem D, Mengersen K, Rivoirard V, Rousseau J (2021) Простые самовозбуждающие модели с дискретным временем могут описывать сложные динамические процессы: пример COVID-19.PLoS ONE 16 (4): e0250015. https://doi.org/10.1371/journal.pone.0250015

Редактор: Дэн Браха, Массачусетский университет, США

Поступила: 03.11.2020; Одобрена: 29 марта 2021 г .; Опубликован: 9 апреля 2021 г.

Авторские права: © 2021 Browning et al. Это статья в открытом доступе, распространяемая в соответствии с условиями лицензии Creative Commons Attribution License, которая разрешает неограниченное использование, распространение и воспроизведение на любом носителе при условии указания автора и источника.

Доступность данных: Данные, использованные в этом анализе, доступны на Github: https://github.com/RaihaTuiTaura/covid-hawkes-paper. Эти данные были получены из Университета Джона Хопкинса: https://github.com/CSSEGISandData/COVID-19/tree/master/csse_covid_19_data/csse_covid_19_time_series.

Финансирование: Автор (ы) не получил специального финансирования для этой работы.

Конкурирующие интересы: Авторы заявили, что никаких конкурирующих интересов не существует.

Введение

Вспышка новой коронавирусной болезни 2019 года (COVID-19) была объявлена ​​глобальной чрезвычайной ситуацией в области здравоохранения, имеющей международное значение 30 января 2020 года, а 11 марта 2020 года объявлена ​​пандемией. С тех пор она быстро распространилась, было подтверждено более 116 миллионов человек. случаев заболевания и более 2,5 млн смертей по состоянию на 7 марта 2021 г. [1]. С момента первого зарегистрированного случая в декабре 2019 года страны по всему миру борются за сдерживание вируса. В отсутствие вакцины страны реализовали ряд нефармацевтических вмешательств и стратегий по сокращению распространения вируса, от таких мер, как социальное дистанцирование, ношение масок и отслеживание контактов, до завершения городских блокировок и приказов оставаться дома.Эти рекомендации основаны на математическом и статистическом моделировании для количественной оценки эффективности этих мер [2–9].

В настоящее время существует обширная коллекция исследований, посвященных пониманию вируса со всех точек зрения, включая его биологические, эпидемиологические, клинические, экономические и социальные последствия. Существует также множество знаний о стратегиях профилактики для борьбы со вспышкой. Во всех этих случаях статистические и математические модели являются важным аспектом для получения значимого понимания того, как распространяется вирус, и количественной оценки его различных воздействий.Популярным выбором являются компартментные модели, некоторые из которых рассматривают стандартную модель SIR (Susceptible-Infected-Recovered) [10–12] и дальнейшие расширения, в которые вводятся дополнительные состояния [13–18]. В качестве альтернативы компартментным моделям другие использовали такие методы, как процессы ветвления, чтобы фиксировать распространение вируса через отдельные сети [2, 3, 5], лог-линейные модели авторегрессии Пуассона [19] и другие вероятностные модели инфекции. цикл вируса [20]. Также были предложены различные модели, основанные на кривых роста, например [21–23], которые используют логистические, экспоненциальные и кривые роста Ричардса соответственно.Более подробные подходы, такие как агентное моделирование, также рассматривались многими авторами [24–27].

Процесс Хокса [28] — это стохастический, самовозбуждающий процесс, в котором прошлые события влияют на краткосрочную вероятность возникновения будущих событий. Они часто используются для объяснения многих явлений, которые проявляют самовозбуждающие свойства, включая нейробиологию [29–31], преступность и терроризм [32–34], сейсмическую активность [35] и социальные сети [36]. Точно так же из-за их заразной природы также естественно представить инфекционные заболевания, такие как текущая пандемия COVID-19, как процесс Хокса.

Процессы Хокса успешно применялись для моделирования эпидемий и инфекционных заболеваний. Например, для вспышек лихорадки Эбола в Западной Африке и Демократической Республике Конго [37, 38] было обнаружено, что процесс Хокса превосходит механистическую модель SEIR (Susceptible-Exposed-Infected-Recovered) с точки зрения краткосрочного прогнозирования. В другом исследовании используется расширение многомерного процесса Хокса, чтобы понять пути передачи и региональную взаимосвязь вспышки лихорадки денге в разных регионах Австралии [39].Пятнистая лихорадка Скалистых гор также была смоделирована с использованием рекурсивного процесса Хокса с ожидаемым числом передач, основанным на текущей условной интенсивности процесса Хокса [40]. Более того [41] смоделируйте инвазивное менингококковое заболевание, используя пространственно-временное расширение процесса Хокса.

Распространение COVID-19 — чрезвычайно сложный процесс с неизвестной динамикой заболевания и огромными различиями в профилактических мерах и ответных мерах в разных странах. Мы предлагаем экономную модель смертей от COVID-19, а именно процессы Хокса с дискретным временем (DTHP) [32, 33, 42], чтобы описать сложную динамику эпидемии COVID-19.В своей первоначальной форме процесс Хокса представляет собой точечный процесс с непрерывным временем; однако DTHP наблюдает за возникновением событий с дискретным временным разрешением. Благодаря такой конструкции DTHP может напрямую моделировать доступные данные (то есть ежедневные подсчеты), без искусственного вложения данных в непрерывную временную шкалу, как это обычно делается в исследованиях с использованием процессов Хокса с непрерывным временем. Мы также вводим детерминированные точки изменения в этом исследовании, поскольку динамика распространения резко меняется по мере развития пандемии и внедрения профилактических вмешательств.

Альтернативные модели, такие как механистические модели и модели кривой роста, рассмотренные ранее, в основном сосредоточены на оценке параметров модели, которые управляют системой. Однако процессы Хокса более подробны, поскольку отдельные события и их соответствующее время наступления напрямую влияют на вероятность возникновения будущих событий. Процессы Хокса также обеспечивают дополнительную информацию о динамике заражения болезнями, оценивая уровень внешних случаев через базовый параметр и запускающее ядро, которое моделирует снижение инфекционности с течением времени.

Процессы Хокса и компартментные модели основаны на разных математических принципах и основаны на разных допущениях. Однако их связь исследовалась в [43]. Эти авторы показывают, что с помощью модифицированного варианта модели Хокса с конечной популяцией для конкретного выбора запускающего ядра частота событий эквивалентна скорости заражения модели SIR. Хотя семейство моделей SIR полезно, если о динамике системы известно больше, более простая модель часто бывает полезна для явлений, в которых много неизвестных.Мы показываем в этом исследовании, что наша модель полезна для этой цели. Кроме того, в дальнейшем мы исследуем различия между Хоксом, компартментными моделями и другими подходами.

Связанные работы

Подход к моделированию пандемии COVID-19 с использованием самовозбуждающихся ветвящихся процессов был предложен в [44]. Эти авторы используют модель Хокса с непрерывным временем с непараметрической оценкой числа репродукций, R ( t ), среднего числа вторичных случаев, вызванных единичным случаем вируса.Как количество смертей, так и количество подтвержденных случаев на ранней стадии эпидемии, до 1 апреля, смоделированы для трех штатов США, нескольких европейских стран и Китая. По сравнению с моделями SIR и SEIR с фиксированным числом репродукций их модель Хоукса с динамическим параметром приводит к более низким оценкам базового числа репродукций, R ₀ . В том же направлении [45] рассмотрим несколько наборов данных для штата Индиана на ранней стадии эпидемии.Они также сравнивают непараметрическую оценку числа воспроизведений, R ( t ), с экспоненциально убывающей функцией и ступенчатой ​​функцией, и обнаруживают, что оценка R очень чувствительна к типу входных данных ( т. е. смертельные случаи или случаи заболевания), источник данных и выбор модели. Аналогичным образом [46] примите модель Хокса с непрерывным временем с пространственными ковариатами для моделирования как числа подтвержденных случаев COVID-19, так и числа смертей для США на уровне округов.В этом исследовании также рассматривается изменяющееся во времени число репродукций. Наконец [47], также используйте непрерывный процесс Хокса, чтобы проиллюстрировать серьезность вируса во Франции, если не будут предприняты никакие профилактические меры.

Два подхода, похожих на наш, есть в [48, 49]. Первый предлагает модель двухфазного заражения, основанную на расширении процесса Хокса. В этом исследовании рассматривается непрерывный процесс Хокса, предполагается, что скорость внешних событий изменяется во времени, и оценивается точка изменения в их модели.Авторы также предполагают, что после точки изменения внешнего возбуждения нет. Последний из них, насколько известно авторам, наиболее похож на наш. Эти авторы рассматривают процесс Хокса с дискретным временем для описания текущей эпидемии COVID-19. Это исследование фокусируется на оценке изменяющегося во времени числа воспроизводства, игнорируя влияние внешней активности и учитывая фиксированное ядро ​​возбуждения.

Было предложено несколько других подходов к моделированию COVID-19, которые включают точки изменения, чтобы отразить динамический характер пандемии.[50, 51] обнаружили, что при использовании компартментных моделей с изменяющейся во времени частотой инфицирования расчетные точки изменения для Германии и Южной Африки, соответственно, совпадают с различными вмешательствами правительства в этих странах. [52] напрямую не оценивают точки изменения; вместо этого они предлагают компартментальную модель для Италии с кусочными модельными параметрами, разбитыми на регулярные временные интервалы. В качестве альтернативы [53] рассмотрите комбинацию моделей экспоненциальной и полиномиальной регрессии для оценки оптимальных точек изменения для вспышки COVID-19 в Индии.Хотя эти исследования рассматривают только одну страну [54], исследуют несколько стран и вводят единую точку стохастического изменения в их компартментную модель. [55] представляют широкое исследование, проведенное в 55 странах с использованием частично наблюдаемого марковского процесса с кусочной скоростью передачи.

Взносы

В современной литературе процесс Хокса с непрерывным временем требует искусственного вменения данных суточного счета в непрерывное временное разрешение, добавляя значительную вычислительную нагрузку к реализации и добавляя дополнительный, потенциально ненужный шум в модель.Мы разрабатываем многоэтапный подход для DTHP, чтобы напрямую моделировать зарегистрированные ежедневные подсчеты числа смертей, вызванных вирусом.

Динамика процесса до и после принятия превентивных мер и политических вмешательств по сокращению распространения вируса по своей сути различается. Большая часть существующей литературы по моделированию пандемии COVID-19 с использованием процессов Хокса рассматривает только ранние стадии пандемии. В этой работе мы разрабатываем вариант DTHP для моделирования отдельных фаз эпидемии COVID-19.Мы модифицируем традиционный процесс Хокса, чтобы учесть это изменение в динамике, включив в модель детерминированные точки изменения.

В то время как [49] также изучают более свежие данные, эти авторы ограничивают оценку параметров числом репродукций и фиксируют остальные параметры модели Хокса. В нашем исследовании мы оцениваем ядро ​​возбуждения для дополнительной гибкости. Что касается внешних событий [48], также предположим, что во второй фазе их двухфазной модели нет внешнего возбуждения.Мы не делаем такого предположения и считаем, что рассмотрение внешнего возбуждения на протяжении всего периода пандемии является ценным соображением. Все еще есть путешественники, прибывающие из-за границы, и поэтому экзогенная активность все еще происходит на более поздних этапах с более низкой скоростью. Это особенно актуально, поскольку во многих странах требования к карантину относительно смягчены, а это означает, что путешественники из-за границы по-прежнему могут распространять вирус. Хотя мы изучаем данные о смертности в этом анализе, мы можем установить связь между смертностью и инфекциями.В частности, в Приложении S1 мы показываем, что скорость внешних событий в нашей модели можно примерно интерпретировать как внешние инфекции, умноженные на вероятность смерти от инфекции. Эта ссылка особенно полезна при отсутствии достоверных данных о заражении.

Модели точек перехода для процессов Хокса рассматривались и в других приложениях [56]. Однако эти авторы предполагают независимость наблюдаемых данных между точками изменения, запрещая событиям, которые происходят в течение определенного периода времени, влиять на события в будущих периодах времени.Этот тип модели не подходит для этого приложения, поскольку периоды времени не являются независимыми. Хотя поведение процесса варьируется между периодами времени, влияние прошлых событий остается активным в памяти процесса. Таким образом, базовые параметры становятся искусственно завышенными, если события из разных периодов времени считаются независимыми. В связи с текущей пандемией COVID-19 [49] представьте метод определения точек изменения числа репродукций путем дополнения их модели Хокса методами пространства состояний.

В частности, для эпидемии COVID-19, в то время как другие исследования непосредственно оценивают точки изменений или разбивают временную шкалу на регулярные интервалы, чтобы отразить развивающуюся динамику эпидемии, мы предлагаем простой метод, который включает фиксированные точки изменения. Мы не оцениваем точки изменения для нашей модели, поскольку было довольно очевидно, где разумная точка изменения была в этих данных, и это позволяет избежать сложности, возникающей из-за различных вмешательств, вводимых в каждой стране с различными уровнями ограничений.Кроме того, задержки до появления ощутимых результатов, в дополнение к сложным и скрытым взаимодействиям, лежащим в основе процесса, усложняют интерпретацию предполагаемых точек изменения. Вместо этого мы выбираем это последовательное и упрощенное определение точки изменения для каждой страны. Однако точки изменения можно оценить для более сложных траекторий.

В этом исследовании мы показываем, как простую модель можно использовать для описания чрезвычайно сложных природных явлений, таких как эпидемии и, в частности, пандемия COVID-19.Хотя это одно и то же основное явление, все страны уникальны с точки зрения распространения вируса и принимаемых ответных мер. Наша простая модель может уловить эту динамику. Кроме того, хотя во многих других исследованиях рассматриваются небольшие регионы, такие как отдельные округа в США, мы также можем получить представление о динамике процесса на более высоком уровне по целым странам.

Наброски

Сначала мы определяем общую форму DTHP и сравниваем ее с ее эквивалентом в непрерывном времени.Затем мы представляем конкретную модель, используемую на начальном этапе этого анализа для моделирования COVID-19, включая точку изменения в построении DTHP. Далее приводится краткое описание данных и методов вывода. Наконец, представлены результаты для десяти представляющих интерес стран, а также показаны результаты адаптации нашей модели к более свежим данным. Затем следует обсуждение и заключительные замечания.

Методы

Процесс Хокса с дискретным временем

Процесс Хокса с дискретным временем — это самовозбуждающий стохастический процесс, в котором события происходят через равные промежутки времени в дискретном масштабе времени.Он следует конструкции, аналогичной процессу Хокса с непрерывным временем [28]. Функция условной интенсивности λ ( t ) характеризует процесс Хокса, и в этом заключается разница между вариантами с непрерывным и дискретным временем. Для DTHP λ ( t ) представляет ожидаемое количество событий, которые происходят в интервале времени t , условно в прошлом. Напротив, для процесса Хокса с непрерывным временем λ ( t ) — это мгновенная скорость события, происходящего в момент времени t .Модель DTHP также имеет дополнительный уровень гибкости по сравнению с ее аналогом с непрерывным временем, поскольку базовый процесс генерации данных может быть выбран как любое подсчетное распределение с условным средним λ ( t ).

Рассмотрим линейный одномерный процесс Хокса с дискретным временем N , где N ( t ) представляет количество событий до временного интервала t . N ( t ) зависит от истории событий до, но не включая время t , обозначается H _{t −1} = { y _s : s ≤ t — 1}, где y _s представляет наблюдаемое количество событий в заданном временном интервале s .Кроме того, N ( t ) — N ( t — 1) представляет количество событий в момент времени t , и, таким образом, (1) где μ представляет собой базовое среднее значение процесса, а второй член представляет самовозбуждающий компонент процесса Хокса, описывающий ожидаемое количество событий в течение определенного интервала t с учетом предыдущих событий. Запускающее ядро ​​ g ( t — t _i ) описывает влияние прошлых событий на интенсивность процесса, учитывая время, прошедшее с момента события i , где t > t _i .В этом исследовании мы определяем запускающее ядро ​​как правильную функцию массы вероятности со строго положительной целочисленной поддержкой. Поскольку сумма ядра возбуждения равна 1, можно интерпретировать неотрицательный параметр величины как ожидаемое количество последующих событий, произведенных одним событием [33].

Модель

Ежедневные подсчеты зарегистрированного числа смертей от нового коронавируса COVID-19 моделируются с использованием процесса Хокса с дискретным временем, при котором распределяется количество событий, наблюдавшихся в день t , а именно y _t согласно случайной величине, Y ( t ), которая имеет условное среднее E ( Y ( t ) | H _{t −1} ) = λ ( t ) как определено в уравнении (1).В этом анализе предполагается, что Y ( t ) распределено Пуассона, таким образом. Распределение Пуассона выбрано, поскольку оно имеет интуитивно понятную интерпретацию в отношении генерации ежедневных подсчетов смертей в данный день, а также потому, что оно является естественным приближением биномиального распределения с большой численностью населения и низким уровнем смертности. Более подробная информация представлена ​​в Приложении S1. Таким образом, для предложенной модели DTHP вероятность того, что день t будет иметь y событий, равна,

Сначала мы рассмотрим начальный период до 25 июля 2020 года, чтобы определить некоторые исходные допущения при моделировании и изучить эффективность модели на ранних стадиях пандемии.Условная функция интенсивности λ ( t ) изменена из уравнения (1), чтобы учесть точку изменения в процессе, поскольку DTHP с фиксированными параметрами не может уловить сложную динамику для эпидемии такого масштаба. Параметры DTHP неявно включают экологические и социальные характеристики, которые имеют значение для распространения болезни, и эти характеристики меняются после принятия профилактических мер. Таким образом, если не учитывать динамический характер эпидемии, модель усредняет расчетные параметры, комбинируя эффекты начальной взрывной фазы пандемии с тенденцией к снижению, которая следует после реализации превентивных мер.

В начальный период анализа, чтобы приспособиться к этой форме, мы предполагаем в нашем анализе, что две фазы могут адекватно разделить основную динамику. А именно, эти фазы представляют собой начальный период, когда вирус быстро распространяется, и следующий период снижения заражения в результате принятия превентивных мер и политики. В процессе смерти происходит множество сложных взаимодействий. Например, по мере того, как медицинские работники все больше знакомятся с вирусом и улучшаются методы лечения, медицинские учреждения лучше оснащены для лечения пациентов с COVID-19 в критическом состоянии, нуждающихся в интенсивной терапии [57, 58].Однако это может быть компенсировано увеличением спроса на больничные койки, в результате чего медицинские учреждения становятся перегруженными и не могут оказывать помощь всем пациентам, которым требуется стационарное лечение. Поэтому вместо того, чтобы делать явные предположения о лежащих в основе процессах, определяющих динамику смертности, мы связываем нашу модель Хокса по динамике смерти с аналогичной моделью инфекции, как мы обсуждаем в Приложении S1.

Таким образом, мы сначала ретроспективно определяем единственную точку изменения во времени T ₁ , где T ₁ — максимальное значение смертности, чтобы уловить различную динамику эпидемии на двух различных стадиях вспышки.

Запускающее ядро ​​ g ( t — t _i ) выбрано как геометрическое ядро ​​возбуждения, g ( t — t _i ; β ) = β (1 — β ) ^{t — t _i −1} . Экспоненциальное распределение — одно из наиболее часто используемых запускающих ядер для процессов с непрерывным временем. Таким образом, мы выбираем геометрическое ядро, поскольку, как можно показать, оно эквивалентно экспоненциальному распределению в контексте дискретного времени.Параметр β представляет вероятность успеха в геометрическом распределении, и, таким образом, среднее значение ядра возбуждения равно. Мы также выражаем ожидание максимального времени возбуждения в терминах параметров модели в Приложении S2.

Функция условной интенсивности до T ₁ вычисляется с использованием одного набора параметров модели ( μ ₁ , α ₁ , β ₁ ). После T ₁ функция интенсивности рассчитывается с использованием нового набора параметров ( μ ₂ , α ₂ , β ₂ ) для второй фазы эпидемии.Таким образом, для одной точки изменения в момент времени T ₁ , λ ( t ) определяется как (2)

Уравнение (2) легко расширить, чтобы учесть дополнительные точки изменения. В то время как большая часть этого документа рассматривает только начальную стадию пандемии до 25 июля 2020 года, мы рассматриваем последующие фазы после этой даты как набор дополнительных анализов. Это сделано для того, чтобы продемонстрировать, как наша модель может быть расширена за пределы начальных фаз пандемии, поскольку в обозримом будущем каждый день будут поступать новые данные.

Хотя мы рассматриваем умершее население, а не инфицированное население, между ними существует связь при некоторых упрощениях. Таким образом, изучение смертей также полезно для понимания динамики заражения. Это особенно выгодно на ранних стадиях пандемии, когда отсутствуют надежные данные об инфекциях. Мы не будем вдаваться в подробности здесь, но главный результат этого состоит в том, что α , β и функция μ интерпретируются в отношении инфекций, а не смертей.Полная версия доступна в Приложении S1. Поскольку это приближение основано на предположении о большой численности населения и низком уровне смертности, мы не ожидаем, что эта модель будет разумной для других временных рядов, где частота встречаемости высока, таких как выздоровление от COVID-19.

Для временного ряда T дней и данной страны функция логарифмического правдоподобия для этой модели DTHP с ретроспективной точкой изменения, T ₁ , с точностью до аддитивной константы K , будет иметь следующий вид:

Данные

В этой работе мы используем данные, собранные Университетом Джона Хопкинса [59].Эти данные поступают в виде ежедневных подсчетов подтвержденных случаев или смертей по странам и регионам. В этом анализе учитывается количество ежедневно регистрируемых смертей для ряда стран, а именно Бразилии, Китая, Франции, Германии, Индии, Италии, Испании, Швеции, Великобритании и США. Мы выбираем эти страны, чтобы представить глобальную выборку стран, которые пострадали от вспышки коронавируса. Важно отметить, что определение смерти от COVID-19 варьируется в зависимости от страны.Эти различия игнорируются в нашем моделировании.

Сообщаемое количество смертей считалось более надежной переменной ответа, чем зарегистрированное количество случаев. Это происходит из-за проблем с данными, которые могут возникнуть при рассмотрении количества подтвержденных случаев, таких как отсутствие тестирования или разная частота тестирования в разных странах, различия в определениях и различия в сроках сообщения о случаях. Кроме того, для смягчения эффекта систематических влияний в отчетности, например, более низкого уровня отчетности по выходным [50], данные сглаживаются по скользящему окну в семь дней.Начало окна наблюдения, t ₁ , для каждой страны определяется как время, когда количество смертей превышает десять. На рис. 1 показан сглаженный объем ежедневных смертей для рассматриваемых стран до 25 июля 2020 года.

На начальном этапе этого анализа мы рассматриваем данные до 25 июля 2020 года. Мы определяем единую точку изменения, T ₁ , как время, когда происходит максимальное количество смертей для стран с достаточным количеством данных в фаза спада эпидемии к концу начального периода исследования.Там, где нет достаточных доказательств нисходящей тенденции, например, в Индии и Бразилии, точка изменения не вводилась, а моделировалась только одна фаза. Более того, тенденция для Бразилии свидетельствует о сглаживании кривой; однако для этого второго этапа данных было недостаточно. Таким образом, окончание окна наблюдения для Бразилии назначено на 1 июня 2020 года. Кроме того, поскольку Китай, Индия, Испания и США испытали большие отклонения от текущей тенденции к концу наблюдаемых данных, более ранние конечные точки на 13 апреля 2020 года, 12 июня 2020 года, 15 июня 2020 года и 21 июня 2020 года были введены соответственно.Это позволяет избежать аномальных всплесков в конце этих серий, поскольку не было ясно, были ли эти аберрации реальными или из-за определений в отчетах или других ошибок. Конечной точкой для остальных стран было 25 июля 2020 года. Позже мы расширили наш анализ, включив в него более свежие данные, чтобы продемонстрировать полезность нашей модели на более поздних этапах пандемии. Описание обработки данных для этого находится в соответствующем разделе результатов.

Вывод параметров

Оценка параметров проводится с использованием байесовских методов.Мы рассматриваем диапазон предшествующих вариантов для базовых параметров µ ₁ и µ ₂ и выполняем перекрестную проверку без учета будущего со сглаженной выборкой по Парето [60], чтобы оценить эффективность каждого предварительного выбора. . Рассмотрены следующие априоры: где первый член логарифмически нормальных априорных значений представляет собой среднее значение самой случайной величины, а не среднее значение натурального логарифма переменной.

Перекрестная проверка со сглаженной по Парето выборкой по важности основывается на ожидаемой логарифмической прогностической плотности (ELPD), для которой большее значение указывает на лучшее соответствие модели.Мы рассчитываем ELPD в каждой стране для каждого из предварительных вариантов базового параметра, и эти результаты представлены в таблице S1. Основываясь на этом анализе, не существует очевидного выбора приоритета, который неизменно превосходит остальные по каждой стране. Напротив, разница в ELPD между априориами незначительна. В оставшейся части этой статьи представлены результаты для μ ₁ , μ ₂ ∼ Gamma (5, 1), так как это наиболее часто самый высокий ELPD, а если не максимальный, то обычно очень сопоставим.

Плоские априорные элементы выбраны для α ₁ , α ₂ , β ₁ и β ₂ , так что,

• β ₁ , β ₂ ∼ U (0, 1)

Шаг Ланжевена с поправкой на Метрополис [61] используется для совместного обновления α ₁ и β ₁ , а также для совместного обновления α ₂ и β ₂ .Обозначая параметры на итерации t как α ^{( t )} , β ^{( t )} , предложения α *, β * моделируются из, (3) где D _α (.) и D _β (.) — градиенты логарифма L относительно α и β соответственно, G является предварительным — матрица кондиционирования, учитывающая ковариацию между параметрами, а ϵ — это размер шага в алгоритме Ланжевена, скорректированном для Метрополиса.

Цепочка MCMC выполнялась для 60 000 итераций, отбрасывая первые 20 000. Матрица предварительного согласования G была взята в качестве ковариационной матрицы из реализации стандартного алгоритма Метрополиса-Гастингса для каждой страны. Код R и данные, необходимые для воспроизведения этого исследования, доступны на Github (https://github.com/RaihaTuiTaura/covid-hawkes-paper).

Результаты

Сначала мы представляем результаты первоначального анализа с учетом данных до 25 июля 2020 года.На рис. 2 представлены 95% -ные апостериорные интервалы вокруг оцененной функции условной интенсивности λ ( t ) в сравнении с наблюдаемыми данными для каждой страны. Расчетная функция интенсивности в день t представляет ожидаемое количество событий в день t и очень точно соответствует наблюдаемому количеству смертей. Он также чрезвычайно реагирует на незначительные отклонения от наблюдаемого тренда, и более изменчивые времена в наблюдаемых данных приводят к более широким апостериорным интервалам, чтобы учесть повышенную неопределенность в тренде данных.

Рис. 2. Наблюдаемые смерти в сравнении с расчетными.

Наблюдаемое количество смертей (черные точки) по сравнению с 95% -ным апостериорным интервалом для расчетного ожидаемого количества событий, то есть λ ( t ) (сплошная красная лента).

https://doi.org/10.1371/journal.pone.0250015.g002

Диагностические графики, включая графики трассировки MCMC, автокорреляцию между выборками MCMC и попарную корреляцию между параметрами, были исследованы, что свидетельствует о сходимости алгоритма.Более подробная информация об апостериорных распределениях параметров модели, сходимости и диагностике модели представлена ​​в Приложении S3.

В таблицах 1–3 представлены апостериорная медиана и соответствующие 80% апостериорные интервалы для параметров модели. Дополнительные сведения о других рассмотренных априорных параметрах базового уровня можно найти в Приложении S4. В большинстве стран задний интервал для μ ₂ постоянно ниже, чем μ ₁ , что указывает на снижение базовой частоты событий от начала к более поздним стадиям эпидемии.Исключением являются США. Результаты для США очень чувствительны к предыдущему выбору; таким образом, более широкие апостериорные оценки дают более высокие апостериорные оценки, чем ожидалось, по сравнению с другими странами. В более раннем анализе такое поведение также было превалирующим для Швеции и Великобритании, хотя оно исчезло при рассмотрении более длинных временных рядов. Это означает, что в данных может быть недостаточно информации для США, чтобы надежно изучить параметры модели для второй фазы. Однако без альтернативных данных невозможно улучшить моделирование U.С., рассматривая более длительные временные ряды. Это связано с большой аномалией в конце серии, как описано в разделе «Данные». Тем не менее, он подчеркивает важность наличия достаточного количества обучающих данных и осторожности при интерпретации оценок параметров.

Параметр величины во второй фазе, α ₂ , также постоянно ниже, чем параметр для первой фазы, α ₁ . С апостериорной вероятностью (более 80%) для всех стран можно сказать, что α ₁ > 1 и α ₂ <1.Это означает, что процесс является взрывоопасным до точки изменения и становится стационарным после точки изменения, вероятно, вызванным введением вмешательств, направленных на снижение скорости инфицирования.

Параметры для геометрического запускающего ядра, β ₁ и β ₂ , аналогичны для Швеции и Китая. Однако для остальных стран, где рассматриваются две фазы, параметр ядра для первой фазы, β ₁ , больше, чем β ₂ , что указывает на то, что самовозбуждение имеет более длительную память во второй фазе. фаза.Для справки: β = 0,4 в геометрическом ядре соответствует в среднем 2,5 дня для самовозбуждения, при этом большая часть массы приходится на одну неделю, тогда как β = 0,9 короче, что соответствует среднему самовозбуждению. -возбуждение чуть более 1 дня с примерно 2-мя днями общей памяти.

Подходит для модели

Для оценки соответствия модели используется несколько показателей. Сначала оценивается способность модели интерполировать недостающие данные. Затем рассматриваются апостериорные прогностические проверки по выборке и вне выборки.Цель прогнозирования в этом исследовании — оценить соответствие модели и выяснить, что можно узнать о процессе ретроспективно.

Первый показатель соответствия модели определяет, насколько точно модель может восстановить недостающие данные. Мы случайным образом удаляем 10% наблюдений по всему временному ряду и обрабатываем недостающие данные как параметры модели для оценки. Таблица 4 описывает количество интерполированных точек данных, для которых наблюдаемое значение находится в пределах 95% и 80% вероятных интервалов (CrI) апостериорных распределений для отсутствующих данных.Более подробную информацию можно найти в приложениях S5 и S6. Доля правильно интерполированных точек данных обычно высока при рассмотрении 95% вероятных интервалов. Это уменьшается при рассмотрении интервала 80%, однако все еще остается высоким для большинства стран, охватывая по крайней мере половину отсутствующих точек данных. Исключением являются США, где точно интерполировано менее половины отсутствующих точек данных.

Прогнозирование — сложная задача, особенно для сложных явлений, таких как пандемия COVID-19.Для этой конкретной модели более недавние события имеют большее влияние на интенсивность процесса. Таким образом, прогнозирование, выполняемое в то время, когда происходит ненормальное поведение, будет очень неопределенным и часто ненадежным. Более того, прогноз реалистичен только в краткосрочной перспективе и, как правило, только в тех случаях, когда нет свидетельств ненормального поведения. Это согласуется с другими моделями в литературе [37, 38, 62–64]. Таким образом, в данном исследовании мы рассматриваем апостериорные прогностические проверки как в выборке, так и вне ее как меру соответствия модели.

Предсказание по выборке выполняется путем создания выборочных траекторий процесса для диапазона полученных параметров модели и сравнения их с наблюдаемыми временными рядами. В частности, производится случайный выбор апостериорных выборок, и весь временной ряд моделируется на основе этих рисунков. Апостериорные интервалы прогнозирования из этих симуляций по сравнению с наблюдаемыми данными приведены на рис. 3. В целом интервалы для этих симуляций инкапсулируют или очень близки к наблюдаемым данным, однако они могут быть чрезвычайно широкими и часто недооценивать объем событий. в начальной фазе вспышки.Вероятно, это связано с вариациями в предполагаемом распределении генерирования данных Пуассона и относительно широкими априорными значениями базовых параметров для первой фазы, что приводит к широкому диапазону возможных путей выборки. Кроме того, эти выборочные траектории неадекватно отражают наблюдаемую тенденцию в США.Однако мы обнаружили, что включение данных из первой фазы в модель и прогнозирование второй фазы приводит к повышению точности апостериорных интервалов прогнозирования для всех стран. Эти результаты представлены на рис.4.

Рис. 4. Валидация в выборке, обусловленная данными первого этапа.

Наблюдаемое количество смертей (черные точки) по сравнению с 95% задним прогнозным интервалом для расчетного ожидаемого количества событий, то есть λ ( t ) (серая лента).

https://doi.org/10.1371/journal.pone.0250015.g004

Валидация вне выборки (O.O.S.) также выполняется для каждой страны в качестве меры соответствия модели. Во-первых, мы рассматриваем начальную фазу эпидемии до точки изменения.Модель обучается на данных первых 15 дней выборки, за которыми следует 5-дневный O.O.S. прогноз. Затем мы повторяем этот процесс, увеличивая продолжительность тренировочного периода на 5 дней до точки изменения. Как показано на рис. 5, эти прогнозы надежны только в краткосрочной перспективе и становятся более ненадежными по мере приближения конца первой фазы. Прогнозы первой фазы растут экспоненциально и быстро превосходят фактический рост процесса, поскольку наблюдаемая кривая сглаживается из-за воздействия предпринятых превентивных мер.

Рис. 5. Валидация вне выборки.

Наблюдаемое количество смертей (черные точки) по сравнению с 95% апостериорным прогнозным интервалом для расчетного ожидаемого количества событий, то есть λ ( t ) с использованием различных наборов обучающих данных (серые ленты).

https://doi.org/10.1371/journal.pone.0250015.g005

O.O.S. прогноз также рассматривается для второй фазы модели после точки изменения. Сначала мы обучаем модель на данных первой фазы и 15 дней второй фазы.Затем мы повторяем ту же процедуру, что и описанная выше, с 10-дневным O.O.S. предсказания. Нисходящая траектория инфекционного цикла более устойчива, чем восходящая, поэтому мы рассматриваем более длительную продолжительность прогноза. Апостериорные интервалы прогнозирования обычно очень точны для всех стран, как показано на рис. 5. По сравнению с O.O.S. При проверке достоверности, выполненной для первой фазы, повышение точности, наблюдаемое на второй фазе, вероятно, связано со стационарностью процесса на второй фазе, что приводит к более предсказуемым тенденциям.Для обеих фаз точность O.O.S. прогнозы зависят от конечной точки периода обучения модели и типа поведения, предшествующего любым прогнозам.

Хотя мы не пытаемся предсказать ход эпидемии в этом исследовании, мы обнаружили, что O.O.S. прогнозы могут указывать, когда приближается пик количества событий. Это может быть полезно в странах, которые еще не испытали снижения количества ежедневных событий, например, в Бразилии и Индии в этом исследовании.Предварительные интервалы прогнозирования, которые превышают скорость роста в наблюдаемых данных, указывают на нисходящую фазу эпидемии и могут предотвратить ее. И наоборот, если интервалы прогноза содержат наблюдаемые данные, маловероятно, что пик приближается. Это видно на рис. 5, где кривая для Бразилии сглаживается, что приводит к ненадежному O.O.S. прогнозы по сравнению с более надежными прогнозами в Индии из-за сильной тенденции к росту.

Монтаж последующих фаз

По мере развития пандемии новые волны инфекции и, следовательно, смертельные случаи неизбежны и будут продолжать представлять интерес в обозримом будущем, особенно по мере развертывания вакцины и обнаружения новых вариантов вируса.У пандемии нет очевидной конечной точки, однако интересно исследовать и последующие волны инфекции. Чтобы решить эту проблему, мы расширяем наш основной анализ, чтобы определить, применима ли предложенная нами модель в течение более длительного периода времени.

Мы рассматриваем данные о смертности с конечной точки нашего первоначального анализа до 4 февраля 2021 года. Страны с недостаточными данными для информирования на другом этапе были прерваны. Таким образом, период наблюдения для Бразилии, Великобритании и США заканчивается 7 января 2021 года, 24 января 2021 года и 12 января 2021 года соответственно.Более того, для многих стран существует период очень низкой смертности между первой и второй волнами инфекции, и мы не рассматриваем этот период. Кроме того, в Китае не было второй волны, поэтому он исключен из этого последующего анализа.

Точки изменения были выбраны там, где наблюдались очевидные изменения траектории, аналогично основному анализу. Отправной точкой второй волны было выбрано время, когда 2-недельное или 4-недельное скользящее среднее увеличивается на 50% за одну неделю.Выбор между 2- или 4-недельным скользящим средним выбирается на основе того, какое значение более точно соответствует началу второй волны при визуальном осмотре. Отметим, что рассматривались алгоритмы автоматического определения точки изменения, такие как алгоритм CUSUM [65], однако они не подходят для нашей модели. Эти алгоритмы обычно основаны на среднем значении временного ряда. Учитывая самовозбуждающий характер нашей модели, изменения в интенсивности процесса не обязательно указывают на изменения в основных параметрах модели.Выбранные точки изменения можно найти в Приложении S7.

Сравнивая оценки параметров между первоначальным анализом и этим последующим анализом, можно сделать несколько наблюдений. Полную таблицу оценок можно найти в таблице S2. Как правило, в то время как базовый параметр μ в первоначальном анализе показывает снижение между первой и второй фазами, в последующих фазах среднее базовое значение снова начинает увеличиваться. Это потенциально связано с ослаблением ограничений и открытием международных границ.Параметр величины α действует так, как ожидалось, другими словами, он меньше 1 для фаз с нисходящей траекторией и больше 1 для фаз с восходящей траекторией. В первоначальном анализе β обычно близко к 1 на первой фазе и уменьшается на последующих фазах.

На рис. 6 показана оцененная функция интенсивности в сравнении с наблюдаемыми данными для последующего анализа. Мы обнаружили, что оцененная интенсивность очень близко соответствует наблюдаемым данным, что также видно в основном анализе.Мы также рассматриваем валидацию в выборке (рис. 7) и вне выборки (рис. 8) так же, как и основной анализ. Оба они показывают многообещающие результаты, причем как внутривыборочные, так и вневыборочные прогнозы очень близко совпадают с наблюдаемыми данными. Остатки, в данном случае относящиеся к разнице между наблюдаемыми данными и оцененной интенсивностью, для всех фаз как начального, так и последующего анализа, представлены в Приложении S8 и показывают, что модели для обоих наборов анализов являются разумными.

Рис. 6. Наблюдаемые смерти в сравнении с расчетными (последующий анализ).

Наблюдаемое количество смертей (черные точки) по сравнению с 95% -ным апостериорным интервалом для расчетного ожидаемого количества событий, то есть λ ( t ) (сплошная красная лента), для последующего анализа.

https://doi.org/10.1371/journal.pone.0250015.g006

Рис. 7. Валидация в выборке для последующего анализа, обусловленная данными первоначального анализа.

Наблюдаемое количество смертей (черные точки) по сравнению с 95% апостериорным прогнозным интервалом для расчетного ожидаемого количества событий, т.е.е. λ ( t ) (серая лента) для последующего анализа.

https://doi.org/10.1371/journal.pone.0250015.g007

Рис. 8. Валидация вне выборки (последующий анализ).

Наблюдаемое количество смертей (черные точки) по сравнению с 95% апостериорным интервалом прогнозирования для расчетного ожидаемого количества событий, то есть λ ( t ) с использованием различных наборов обучающих данных (серые ленты) для последующего анализа.

https: // doi.org / 10.1371 / journal.pone.0250015.g008

Обсуждение

У нашей работы много сильных сторон, и необходимо учесть некоторые важные соображения. Сначала мы обсудим основные результаты этого анализа. Далее следует подробное описание ограничений и потенциальных расширений. Наконец, мы сравниваем нашу методологию моделирования с несколькими популярными подходами к моделированию этого типа явлений.

Модель DTHP

Инфекционные болезни ранее изучались с использованием процессов Хокса.Однако масштаб, серьезность и неопределенность нынешней пандемии COVID-19 делают ее очень сложной проблемой, предоставляя уникальную возможность оценить способность процессов Хокса в описании невероятно сложного процесса. Другой источник сложности возникает из-за определения того, что является смертью от COVID-19, которое различается в зависимости от страны. Этот анализ показывает, что, изменяя DTHP для включения точек изменений, наша модель может адекватно отражать весь процесс в виде отдельных фаз, быстро реагируя и приспосабливая к некоторому уровню ненормального поведения.

Результаты этой работы могут также количественно оценить динамику этих отдельных фаз пандемии. Наши результаты первоначального анализа показывают, что для базовых параметров скорость фона во второй фазе, μ ₂ , ниже, чем для первой фазы, μ ₁ . Это аналогично снижению исходного уровня экзогенных событий, возможно, связанных с ограничением путешествий и общей мобильностью. Другим фактором может быть повышенный уровень передачи от сообщества, влияющий на самовозбуждающий компонент функции интенсивности и, таким образом, меньший акцент на базовом компоненте.На последующих этапах μ снова начинает увеличиваться, что свидетельствует об увеличении перемещений между странами. Исключением из этого правила являются США по причинам, указанным в предыдущих разделах. На базовый параметр также может повлиять определение зарегистрированной смерти от COVID-19, поскольку оно различается в зависимости от страны. Например, когда критерии сообщения о смерти исключают случаи, когда человек страдает другими заболеваниями помимо вируса, это может привести к завышению базового показателя, поскольку в данных могут присутствовать вторичные события из незарегистрированных случаев.

Наши первоначальные результаты для параметров величины показывают с высокой степенью уверенности, что для первой фазы α ₁ больше 1, а для второй фазы α ₂ меньше 1. Это демонстрирует явные различия между фазами, поскольку параметр величины больше 1 указывает, что сам процесс нестационарен, и аналогично параметр величины меньше 1 указывает на стационарный процесс. Эта закономерность также очевидна при анализе последующих фаз.Ниже мы обсудим сходство между параметрами величины в нашей модели и репродуктивным числом в стандартных эпидемиологических моделях.

Параметр запускающего ядра на первом этапе, β ₁ , выше, чем параметр для второго этапа, а именно β ₂ , для всех стран, кроме Швеции и Китая. Это может свидетельствовать о том, что на более поздних стадиях эпидемии, когда были приняты превентивные меры, промежуток времени между передачей увеличивается, так как вероятность передачи меньше.Два исключения из этого правила — Швеция и Китай — находятся на противоположных концах этого спектра. В то время как Китай ввел очень строгие требования к изоляции и карантину, Швеция приняла мягкий подход к изоляции. Большие значения β ₁ также могут указывать на нестабильность на начальном этапе пандемии, что затрудняет прогнозирование и распознавание закономерностей в данных. Кроме того, это могло быть результатом того, что данные о смертях были менее надежными на ранних этапах, поскольку процесс подсчета смертей от COVID-19 еще не был установлен.

На начальном этапе этого анализа мы столкнулись с трудностями при подборе предложенной модели для США. В частности, апостериорные оценки базового параметра являются неопределенными, поскольку на них сильно влияет предыдущий выбор. Кроме того, апостериорные прогностические проверки в выборке показали, что траектории выборки, полученные с помощью оцененных параметров модели, не похожи на наблюдаемую тенденцию. Мы считаем США аномалией, поскольку их реакция на вирус со стороны соответствующих властей на уровне штата сильно различалась в зависимости от штата.Хотя это также верно в некоторой степени для других стран, неоднородность по стране была, возможно, более значительной для США, подразумевая, что предлагаемую модель, возможно, потребуется применить на более детальном уровне регионов для получения более надежных результатов.

Несмотря на то, что наш подход позволяет точно фиксировать динамику этого сложного процесса, теперь мы обращаем внимание на некоторые ограничения и расширения, которые можно было бы рассмотреть. Поскольку эпидемия все еще продолжается, новые данные становятся доступными каждый день, и модель должна повторно соответствовать и настраиваться каждый раз, когда данные обновляются.Хотя мы несколько вручную выбираем точки изменения в этом анализе, можно также рассмотреть алгоритм, подходящий для этой модели с автоматическим выбором количества точек изменения и их соответствующих местоположений. Необходимо тщательно определять дополнительные точки изменения, так как в каждом временном ряду должно быть достаточно информации для оценки параметров. Еще одно соображение — гибкие байесовские непараметрические сплайны [66] или другие методы для получения изменяющихся во времени параметров. Однако необходимо будет установить идентифицируемость и существование этой модели.Можно также рассмотреть различные триггерные ядра, включая непараметрические ядра, чтобы улучшить гибкость модели. Другое возможное расширение — рассмотрение ковариат, связанных со смертями от COVID-19, таких как количество путешествующих людей и количество больниц на душу населения.

Сравнение с другими подходами

Здесь мы обсуждаем несколько из множества подходов, которые были рассмотрены для моделирования продолжающейся эпидемии COVID-19, и различные перспективы, которые они предоставляют по сравнению с нашей моделью DTHP.Компартментные модели, такие как семейство моделей SIR, являются одними из самых популярных методов моделирования эпидемий. Они более подробны и рассматривают механизм цикла заражения, разделяя население на такие категории, как восприимчивые, инфицированные, выздоровевшие или умершие. Наша модель DTHP упрощена в том смысле, что мы рассматриваем только случаи смерти. Мы решили моделировать смертность, а не число инфекций, поскольку последние данные были очень ненадежными вначале из-за отсутствия тестирования и различных политик тестирования в разных странах.Однако, как мы показываем в Приложении S1, в качестве приближения первого порядка динамика смертности помогает понять динамику инфицирования. Это приближение удобно, когда данные о заражении ненадежны, как это произошло на ранних стадиях пандемии COVID-19. При наличии такой неопределенности данных модель SIR требует дополнительных условий для учета этой ошибки измерения.

Для сравнения двух структур полезно рассмотреть стохастическую вариацию модели SIR как двумерный процесс Пуассона, состоящий из событий заражения и восстановления.События заражения затем регулируются процессом Пуассона, где скорость основана на скорости передачи и текущем размере восприимчивых и инфицированных популяций, что соответствует скорости заражения в детерминированной модели SIR. Наша модель отличается тем, что мы рассматриваем дискретную шкалу времени, ежедневное количество событий распределено по Пуассону и, в зависимости от прошлых событий, частота событий каждый день определяется уравнением (2).

Еще одно существенное различие между нашей моделью и стандартными компартментными моделями состоит в том, что последняя рассматривает конечную совокупность.В своей первоначальной форме модель Хоукса предполагает, что будут происходить иммиграционные события, прибывающие со скоростью базового среднего значения μ на неопределенный срок, что подразумевает бесконечную популяцию. Однако существуют варианты модели Хокса с конечной популяцией [43]. Это отличается от модели SIR, которая, естественно, рассматривает конечную популяцию, при которой инфекция вымирает, как только достигается коллективный иммунитет. Влияние этой разницы незначительно в нашем моделировании, потому что мы преимущественно моделируем начальные фазы пандемии, когда недостаточно населения было инфицировано или вакцинировано для достижения коллективного иммунитета.Это может не относиться к более распространенным заболеваниям, таким как грипп, однако обе модели разумны. По окончании сезона гриппа в течение года по-прежнему будут регистрироваться новые случаи инфицирования, хотя и в меньшем масштабе.

Таким образом, наш подход обеспечивает простую модель неизвестных и нестабильных явлений, таких как пандемия COVID-19, особенно на ранних стадиях вспышки. В отличие от обычного гриппа, где динамика и течение инфекции хорошо изучены и относительно предсказуемы, COVID-19 является новой и неизученной областью.Различные вмешательства, которые происходят одновременно, приводят к сложным взаимодействиям, которые усложняют динамику процесса. Наше внимание сосредоточено на ранних стадиях эпидемии, где существует большая неопределенность и нестабильность. Семейство моделей SIR полезно для явлений, механика которых хорошо известна. Однако требуются сложные варианты этих моделей, чтобы охватить всю сложность этой пандемии. Наша простая модель полезна для описания этой ранней стадии пандемии, когда еще много неизвестных.Наша модель также привносит случайность и гибкость, которых нет в стандартных моделях с отсечками. Это позволяет нашей модели быстро адаптироваться к системным изменениям, вызванным вмешательством государства.

Семейство моделей SIR естественным образом следует схеме роста инфекций и смертей до пика, а затем падения из-за сокращения восприимчивой популяции. Однако это не причина падения, наблюдаемого на ранней стадии пандемии. Напротив, падение вызвано внешними факторами, такими как меры социального дистанцирования, температура и улучшение лечения, и это лишь некоторые из них.Модели семейства SIR также включают точки изменения или изменяющиеся во времени параметры для учета этих альтернативных драйверов [51, 52]. Учитывая ретроспективный характер нашего анализа, точки изменения были довольно очевидны, и мы не оценивали их. Однако нашу модель Хоукса можно легко дополнить, чтобы естественным образом создать эту форму. Например, мы могли бы рассмотреть смесь процессов Хокса для каждой из этих отдельных фаз, оценить неизвестные (или известные) точки изменения или включить изменяющиеся во времени параметры.

Другой более сложный подход — это агентное моделирование. Они более подробны, чем компартментные модели, и очень полезны, если у вас есть понимание лежащих в основе механизмов. Недавние статьи, использующие этот подход для эпидемии COVID-19, упомянутые во введении, раскрывают неслучайный характер лежащих в основе стохастических процессов. Основываясь на колебаниях социальной активности и определенных биологических факторов, они приводят к распространению инфекции, госпитализации и, в конечном итоге, к колебаниям уровня смертности.

В качестве альтернативы можно рассмотреть еще более простой подход, такой как кусочно-экспоненциальная модель. Однако процесс Хокса допускает неопределенность в модели, что невозможно с моделью экспоненциального роста, которая очень строгая и фиксирует только тенденцию данных. Допущение колебаний в данных — особенно для нестабильных явлений, таких как текущая пандемия, — является важным аспектом создания реалистичной модели. Экспоненциальная модель также становится менее подходящей по мере развития пандемии.На более поздних этапах происходят сложные взаимодействия, которые приводят к траекториям, которые по своей сути не являются экспоненциальными. Это время неопределенности, и наша модель обеспечивает баланс между моделированием динамики всего цикла заражения и соответствием общей экспоненциальной модели. Мы моделируем некоторые колебания, вызванные физическим процессом, но с помощью более простой модели, чем многие другие, рассматриваемые в литературе.

Хотя существует множество альтернативных подходов, модель Хокса также является естественной моделью для описания самовозбуждающих явлений.Он обеспечивает гибкую и стохастическую основу для моделирования, а параметры в нашей модели позволяют получить интересное представление о пандемии. А именно, α — это среднее количество вторичных инфекций и связано с числом воспроизводимых, связано со средним временем, в течение которого инфицированный человек заразил кого-то, а μ относится к возникновению внешних возбуждений или, скорее, загрязнений, взвешенных по вероятность смерти при заражении. Параметр β сам по себе также показывает, как время между заражениями меняется во времени.

Число воспроизводимых, определяемое как число вторичных инфекций от одного случая, является важным параметром в эпидемиологических моделях. Точно так же параметры магнитуды в нашей модели, заданные как α , также представляют ожидаемое количество вторичных случаев, вызванных единственным родительским событием. Хотя их соответствующие интерпретации схожи на поверхностном уровне, α нельзя напрямую сравнивать с репродуктивными числами в эпидемиологических моделях. Это происходит из-за различий в допущениях модели и лежащих в основе математических схемах, поскольку параметры величины нашей модели не дают той же информации, что и эффективное число воспроизводимости.Эффективное число репродуктивных функций сообщает об уровне коллективного иммунитета, который позволит взять вирус под контроль, и о доле новых инфекций, которые необходимо предотвратить, чтобы изменить тенденцию развития событий от увеличения к снижению [67], в то время как параметры нашей модели этого не делают. Однако отметим, что, как и в случае с числами воспроизводства, если α > 1 в нашей модели имеет место экспоненциальный рост числа событий, а α <1 приводит к стационарной модели, что приводит к уменьшению числа событий. смертельные случаи, если фаза начинается в момент времени с высокой интенсивностью события.Мы также рассматриваем статическую переменную, которая в основном усредняет за весь период, а не изменяется во времени, как это было бы с эффективным числом воспроизводств. Мы делаем это, поскольку разумные точки изменения были довольно очевидны в наборе данных, используемом для этого анализа. Однако для более сложных траекторий другие авторы [44, 45] рассматривают модель Хокса с изменяющимся во времени параметром величины, который они называют безразмерным числом воспроизведения. Такой подход может дать информацию о местоположении точки изменения, наблюдая, когда параметр величины опускается ниже 1.Точки изменения также можно оценить, например, с помощью метода, предложенного в [68].

Другими ключевыми эпидемиологическими параметрами являются время генерации и последовательные интервалы, которые описывают время между заражением и развитием симптомов, соответственно, для пары человек. Наша модель не фиксирует этот тип информации, так как мы не рассматриваем отношения между конкретными парами людей. В результате невозможно получить такие параметры, как темпы роста, которые часто представляют интерес в эпидемиологических моделях.Однако мы можем получить представление об альтернативном временном аспекте заражения. Геометрическое запускающее ядро ​​в нашей модели описывает, как вероятность заражения меняется с течением времени. Точнее, мы можем определить для данного дня влияние прошлых событий на ожидаемое количество событий в этот день.

Заключение

Полезность нашей модели не ограничивается текущей эпидемией коронавируса и может использоваться как простая модель для описания гораздо более широкого круга сложных явлений.В этом исследовании мы продемонстрировали, что предлагаемая модель является простым, но мощным инструментом для объяснения невероятно сложного процесса. В общем, модели, которые пытаются описать сложные процессы, могут становиться все более сложными, поскольку более сложные детали встраиваются и учитываются при моделировании. Таким образом, очень желательно иметь экономную модель, достаточно гибкую, чтобы грамотно фиксировать динамику сложного процесса, не добавляя излишней сложности.

В частности, для текущей пандемии это исследование показывает, что наш простой процесс Хокса с дискретным временем может фиксировать динамику для разных стран, несмотря на сложности, связанные с уникальным ответом каждой страны на вирус.Один и тот же лежащий в основе биологический процесс по-разному влияет на страны, и существует значительная разница в воздействии и тяжести пандемии в разных странах. Кроме того, действия, предпринятые для остановки распространения, и их время также сильно различаются. Такое различное поведение между странами означает, что эволюция пандемии для отдельной страны очень сложна внутри самой себя и включает в себя множество невидимых и сложных скрытых взаимодействий, которые мы не можем смоделировать напрямую.Однако предлагаемая модель, будучи очень простой, может удивительно хорошо улавливать эти тенденции.

Мы пришли к выводу, что для адекватного моделирования всего хода пандемии мы должны принять меры, поскольку существует несколько отдельных фаз. Вначале наблюдается экспоненциальный рост по мере распространения вируса, за которым следует период снижения показателей заражения, поскольку принимаются меры по замедлению распространения. Эти отчетливые поведенческие различия на протяжении всей эволюции эпидемии необходимо признать, поскольку единый DTHP, примененный ко всему временному ряду, дает неинформативные и неинтерпретируемые оценки параметров.Следовательно, требуется модель, которая учитывает эти различные фазы, например, модель, представленная в этой работе.

Приспособление DTHP к эпидемии привело к другим уникальным открытиям. Наши результаты показывают, что модель с дискретным временем подходит для этого приложения, избегая ненужной вычислительной нагрузки, а также дополнительного шума из-за искусственного вменения данных, что требуется для модели с непрерывным временем. Эта модель также обеспечивает до некоторой степени интерпретируемые параметры и указание на динамику изменений между отдельными фазами пандемии.Мы показываем, что, несмотря на уникальные обстоятельства для отдельных стран, включая тип и сроки нефармацевтических вмешательств, демографические данные населения и общее воздействие вируса, модель является гибкой и может также допускать некоторый уровень изменчивости данных. Кроме того, одним из самых удивительных результатов этого анализа является то, что на уровне страны очень простая модель DTHP замечательно подходит к количеству смертей, таким образом отражая динамику пандемии COVID-19.

Дополнительная информация

S3 Приложение. Графики сходимости и диагностики для первоначального и последующего анализа.

Верхняя левая панель: сравнивает наблюдаемое количество смертей (черные точки) с 95% -ным апостериорным интервалом для расчетного ожидаемого количества событий (сплошная красная лента). Верхняя правая панель: показывает парную корреляцию между всеми параметрами в нижнем треугольнике, соответствующими значениями корреляции в верхнем треугольнике и предельными апостериорными плотностями для каждого параметра на диагонали.Нижняя панель: показывает графики кривых в верхнем ряду и функцию автокорреляции в нижнем ряду для каждого параметра. Все рисунки были получены после утонения задних образцов.

https://doi.org/10.1371/journal.pone.0250015.s003

(PDF)

S6 Приложение. Цифры из интерполяции недостающих данных.

Гистограмма представляет собой оценочные апостериорные распределения для каждой из отсутствующих точек данных. Черные пунктирные линии показывают 95% вероятных интервалов вокруг апостериорных распределений.Сплошная синяя линия отображает наблюдаемое количество смертей.

https://doi.org/10.1371/journal.pone.0250015.s006

(PDF)

S8 Приложение. Участок остатков.

Для каждой страны и фазы мы вычисляем предполагаемую ожидаемую интенсивность процесса (т. Е. Λ ( t )) с использованием выборок оценок параметров, полученных с помощью процедуры оценки. Затем гистограммы представляют собой медианное значение невязки (медиана разницы между наблюдаемым числом событий и оцененной ожидаемой интенсивностью).

https://doi.org/10.1371/journal.pone.0250015.s008

(PDF)

Благодарности

Авторы благодарны д-ру Джентри Уайту за полезные советы по моделированию процессов Хокса с дискретным временем на ранних стадиях этого проекта.

Ссылки

1. 1. Всемирная организация здравоохранения. Еженедельный эпидемиологический отчет по коронавирусной болезни 2019 г. (COVID-19) — 9 марта 2021 г .; 2021. https://www.who.int/docs/default-source/coronaviruse/situation-reports/20210309_weekly_epi_update_30.pdf.
2. 2. Hellewell J, Abbott S, Gimma A, Bosse NI, Jarvis CI, Russell TW и др. Возможность борьбы со вспышками COVID-19 путем изоляции случаев и контактов. The Lancet Global Health. 2020; 8 (4): e488 – e496. pmid: 32119825
3. 3. Планк М.Дж., Бинни Р.Н., Хенди С.К., Лустиг А., Джеймс А., Стейн Н. Стохастическая модель распространения COVID-19 и последствий уровня оповещения 4 в Аотеароа, Новая Зеландия. medRxiv. 2020 ;.
4. 4. Фаулер Дж. Х., Хилл С. Дж., Обрадович Н., Левин Р.Влияние приказов на содержание дома на случаи заболевания COVID-19 и летальных исходов в Соединенных Штатах. medRxiv. 2020 ;.
5. 5. Пик СМ, Кан Р., Град Ю. Х., Чайлдс Л. М., Ли Р., Липситч М. и др. Индивидуальный карантин против активного мониторинга контактов для смягчения последствий COVID-19: модельное исследование. Ланцетные инфекционные болезни. 2020; 20 (9): 1025–1033. pmid: 32445710
6. 6. Кухарски А.Дж., Клепак П., Конлан А.Дж., Кисслер С.М., Тан М.Л., Фрай Х. и др. Эффективность изоляции, тестирования, отслеживания контактов и физического дистанцирования для снижения передачи SARS-CoV-2 в различных условиях: исследование математического моделирования.Ланцетные инфекционные болезни. 2020; 20 (10): 1151–1160. pmid: 32559451
7. 7. Дэвис Н.Г., Кухарски А.Дж., Эгго Р.М., Гимма А., Эдмундс В.Дж., Джомбарт Т. и др. Влияние нефармацевтических вмешательств на случаи COVID-19, смертность и спрос на больничные услуги в Великобритании: модельное исследование. The Lancet Public Health. 2020; 5 (7): e375 – e385. pmid: 32502389
8. 8. Кречмар М.Е., Рожнова Г., Бутсма М.С., ван Бовен М., ван де Вейгерт Д.Х.М., Бонтен М.Дж. Влияние задержек на эффективность стратегий отслеживания контактов при COVID-19: модельное исследование.The Lancet Public Health. 2020; 5 (8): e452 – e459.
9. 9. Бадр Х.С., Дю Х., Маршалл М., Донг Э., Сквайр М.М., Гарднер Л.М. Связь между моделями мобильности и передачей COVID-19 в США: исследование математического моделирования. Ланцетные инфекционные болезни. 2020; 20 (11): 1247–1254.
10. 10. Chen Y, Cheng J, Jiang Y, Liu K. Динамическая система с временной задержкой с внешним источником для локальной вспышки 2019-nCoV. Применимый анализ. 2020 ;.
11. 11. Ванпин Дж., Ке Х., Ян С., Вэньчжэ С., Шэншу В., Шаньшань Ю. и др.Расширенный SIR-прогноз тенденции эпидемий COVID-19 в Италии и по сравнению с Хунань, Китай. Границы медицины. 2020; 7 (169). pmid: 32435645
12. 12. Рокес Л., Кляйн Е.К., Папе Дж., Сар А., Субейранд С. Использование ранних данных для оценки фактического коэффициента смертности от инфекции COVID-19 во Франции. Биология. 2020; 9 (5). pmid: 32397286
13. 13. Джордано Дж., Бланкини Ф., Бруно Р., Коланери П., Ди Филиппо А., Ди Маттео А. и др. Моделирование эпидемии COVID-19 и осуществление массовых вмешательств в Италии.Природная медицина. 2020; 26: 855–860. pmid: 32322102
14. 14. Варн Д. Д., Эберт А., Дрованди С., Ху В., Мира А., Менгерсен К. Взгляд в прошлое — видение 2020 года: характеристика глобального ответа на пандемию COVID-19. medRxiv. 2020 ;. pmid: 33287789
15. 15. Прем К., Лю Й., Рассел Т.В., Кухарски А.Дж., Эгго Р.М., Дэвис Н. и др. Влияние стратегий контроля по сокращению социального смешения на результаты эпидемии COVID-19 в Ухане, Китай: модельное исследование. The Lancet Public Health.2020; 5 (5): e261 – e270. pmid: 32220655
16. 16. Чжан Ч., Цзе С.К., Лай З., Хао Т., Су Дж. Прогнозирование профилей распространения COVID-19 в Южной Корее, Италии и Иране с помощью кодирования на основе данных. PLOS ONE. 2020; 15 (7): e0234763.
17. 17. Ли И, Ван Л.В., Пэн Чж, Шэнь Х.В. Базовое репродуктивное число и прогнозируемые тенденции эпидемии коронавирусной болезни 2019 г. на материковой части Китая. Инфекционные болезни бедности. 2020; 9 (94). pmid: 32678056
18. 18. Цзу Дж., Ли М.Л., Ли З.Ф., Шен М.В., Сяо Ю.Н., Цзи Ф.П.Модели передачи COVID-19 на материковой части Китая и эффективность различных стратегий контроля: исследование на основе данных и моделей. Инфекционные болезни бедности. 2020; 9 (83). pmid: 32631426
19. 19. Агосто А., Джудичи П. Пуассоновская модель авторегрессии для понимания динамики распространения COVID-19. Риски. 2020; 8 (3): 1–8.
20. 20. Flaxman S, Mishra S, Gandy A, Unwin HJT, Mellan TA, Coupland H и др. Оценка воздействия нефармацевтических вмешательств на COVID-19 в Европе.Природа. 2020; 584: 257–261. pmid: 32512579
21. 21. Zou Y, Pan S, Zhao P, Han L, Wang X, Hemerik L и др. Анализ вспышки с использованием модели логистического роста показывает динамику подавления COVID-19 в Китае. PLOS ONE. 2020; 15 (6): e0235247. pmid: 32598342
22. 22. Муса С.С., Чжао С., Ван М.Х., Хабиб А.Г., Мустафа У.Т., Хе Д. Оценка экспоненциальной скорости роста и базового репродуктивного числа коронавирусной болезни 2019 года (COVID-19) в Африке. Инфекционные болезни бедности.2020; 9 (96). pmid: 32678037
23. 23. Ли С.Ю., Лей Б., Маллик Б. Оценка кривых распространения COVID-19, объединяющая глобальные данные и информацию о заимствованиях. PLOS ONE. 2020; 15 (7): e0236860.
24. 24. Тадич Б., Мельник Р. Моделирование скрытой передачи инфекции через биосоциальную стохастическую динамику. PLOS ONE. 2020; 15 (10): e0241163.
25. 25. Куэвас Э. Агентная модель для оценки рисков передачи COVID-19 в медицинских учреждениях. Компьютеры в биологии и медицине.2020; 121: 103827.
26. 26. Чанг С.Л., Хардинг Н., Закресон С., Клифф О.М., Прокопенко М. Моделирование передачи и борьбы с пандемией COVID-19 в Австралии. Nature Communications. 2020; 11 (1): 1–13.
27. 27. Burda Z. Моделирование избыточной смертности при эпидемиях, подобных Covid-19. Энтропия. 2020; 22: 1236.
28. 28. Hawkes AG. Спектры некоторых самовозбуждающих и взаимно возбуждающих точечных процессов. Биометрика. 1971; 58 (1): 83–90.
29. 29.Рейно-Бурэ П., Ривойрар В., Туло-Мало С. Вывод о функциональной связности в неврологии с помощью процессов Хокса. В: Глобальная конференция IEEE по обработке сигналов и информации, 2013 г. Остин, Техас: IEEE; 2013. с. 317–320.
30. 30. Чернобой Е.С., Шрамм Л.П., Карр А.Ф. Максимально правдоподобная идентификация систем нейронных точек. Биологическая кибернетика. 1988. 59 (4-5): 265–275.
31. 31. Апостолопулу I, Линдерман С.В., Миллер К., Дубравски А.Многомерные взаимно регрессивные точечные процессы. В: Достижения в системах обработки нейронной информации; 2018. с. 5115–5126.
32. 32. Молер Г. Моделирование и оценка кластеризации из нескольких источников в данных о преступности и безопасности. Анналы прикладной статистики. 2013. 7 (3): 1525–1539.
33. 33. Уайт Дж., Портер, доктор медицины, Мазероль Л. Риск терроризма, устойчивость и нестабильность: сравнение моделей терроризма в трех странах Юго-Восточной Азии. Журнал количественной криминологии.2012. 29 (2): 295–320.
34. 34. Рейнхарт А., Гринхаус Дж. Самовозбуждающие точечные процессы с пространственными ковариатами: моделирование динамики преступности. Журнал Королевского статистического общества: серия C (Прикладная статистика). 2018. 67 (5): 1305–1329.
35. 35. Огата Ю.В. Статистические модели возникновения землетрясений и остаточный анализ точечных процессов. Журнал вычислительной и графической статистики. 1988. 83 (401): 9–27.
36. 36. Чен Ф, Тан WH.Отмечен самовозбуждающий точечный процесс моделирования распространения информации в Твиттере. Анналы прикладной статистики. 2018; 12: 2175–2196.
37. 37. Пак Дж., Чаффи А.В., Харриган Р.Дж., Шенберг Ф.П. Непараметрическая модель Ястреба распространения лихорадки Эбола в Западной Африке. Журнал прикладной статистики, готовится к печати. 2018 ;.
38. 38. Келли Дж. Д., Пак Дж., Харриган Р. Дж., Хофф Н. А., Ли С. Д., Ванье Р. и др. Прогнозы в режиме реального времени вспышки болезни, вызванной вирусом Эбола, в Демократической Республике Конго в 2018–2019 годах с использованием моделей точечных процессов Хокса.Эпидемии. 2019; 28: 100354. pmid: 31395373
39. 39. Ким М., Пайни Д., Джурдак Р. Моделирование случайных процессов распространения болезней в гетерогенной социальной системе. Труды Национальной академии наук. 2019; 116 (2): 401–406.
40. 40. Шенберг Ф.П., Хоффманн М., Харриган Р.Дж. Модель рекурсивного точечного процесса для инфекционных заболеваний. Летопись Института статистической математики. 2019; 71 (5): 1271–1287.
41. 41. Мейер С., Элиас Дж., Хёле М.Модель пространственно-временной условной интенсивности для возникновения инвазивного менингококкового заболевания. Биометрия. 2011. 68 (2): 607–616.
42. 42. Линдерман С.В., Адамс Р.П. Масштабируемый байесовский вывод для технологических сетей с возбуждающими точками. arXiv. 2015 ;.
43. 43. Rizoiu MA, Mishra S, Kong Q, Carman M, Xie L. SIR-Hawkes: Связывание моделей эпидемий и процессов Хокса с моделями распространения в конечных популяциях. В: Материалы конференции World Wide Web 2018. Лион, Франция: Руководящий комитет международных конференций по всемирной паутине; 2018.п. 419–428.
44. 44. Бертоцци А.Л., Франко Э., Молер Дж., Шорт М.Б., Следж Д. Проблемы моделирования и прогнозирования распространения COVID-19. Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки. 2020; 117 (29): 16732–16738.
45. 45. Молер Г., Шорт М.Б., Шенберг Ф., Следж Д. Анализ воздействия государственной политики на передачу COVID-19 в Индиане: роль модели и выбор набора данных. 2020 ;.
46. 46. Чан У.Х., Лю Х, Молер Г.Моделирование процесса Хокса COVID-19 с опережающими индикаторами мобильности и пространственными ковариатами. medRxiv. 2020 ;.
47. 47. Лесаж Л. Процесс Хокса по информированию людей о серьезности вспышки COVID-19: применение к случаям во Франции. Университет Лотарингии; Университет Люксембурга; 2020.
48. 48. Чен З, Дассиос А., Куан В., Лим Дж. У., Ку Ю., Сурья Б. и др. Модель двухфазного динамического заражения COVID-19. arXiv. 2020 ;.
49. 49. Кояма С., Хориэ Т., Шиномото С.Оценка изменяющегося во времени репродуктивного числа COVID-19 с помощью метода в пространстве состояний. PLOS вычислительная биология. 2021; 17 (1): e1008679.
50. 50. Денинг Дж., Циренберг Дж., Шпицнер Ф.П., Вибрал М., Нето Дж. П., Вильчек М. и др. Выявление точек изменения в распространении COVID-19 показывает эффективность вмешательств. Наука. 2020; 369 (6500). pmid: 32414780
51. 51. Мбувха Р., Марвала Т. Байесовский вывод скорости распространения COVID-19 в Южной Африке. PLOS ONE.2020; 15 (8): e0237126.
52. 52. Пикколомини Е.Л., Зама Ф. Мониторинг распространения COVID-19 в Италии с помощью принудительной модели SEIRD. PLOS ONE. 2020; 15 (8): e0237417.
53. 53. Шарма В.К., Нигам У. Моделирование и прогнозирование кривой роста Covid-19 в Индии. medRxiv. 2020 ;.
54. 54. Пайва Х.М., Афонсу Р.Ж.М., де Оливейра Иллинойс, Гарсия Г.Ф. Модель на основе данных для описания и прогнозирования динамики передачи COVID-19. PLOS ONE. 2020; 15 (7): e0236386.
55. 55.Ромеро-Северсон Е.О., Хенгартнер Н., Мидорс Дж., Ке Р. Изменение глобальной скорости передачи COVID-19 до 6 мая 2020 г. PLOS ONE. 2020; 15 (8): e0236776.
56. 56. Детоммазо Дж., Хойтцинг Х., Цуй Т., Аламир А. Штейн Вариативное онлайн-обнаружение точек изменения с приложениями к процессам Хокса и нейронным сетям. arXiv. 2019 ;.
57. 57. Хорвиц Л.И., Джонс С.А., Серфолио Р.Дж., Франсуа Ф., Греко Дж., Руди Б. и др. Тенденции изменения уровня смертности от COVID-19 с поправкой на риск.Журнал госпитальной медицины. 2020; 16 (2): 90–92.
58. 58. Деннис Дж. М., Макговерн А. П., Воллмер С. Дж., Матин Б. А.. Повышение выживаемости пациентов, находящихся в критическом состоянии с коронавирусной болезнью 2019 г. в Англии: национальное когортное исследование, март-июнь 2020 г. *. Реанимационная медицина. 2021. 49 (2): 209–214.
59. 59. Центр системных наук и инженерии (CSSE) Университета Джона Хопкинса. Хранилище данных о COVID-19; 2020 г. https://github.com/CSSEGISandData/COVID-19.
60. 60.Bürkner PC, Gabry J, Vehtari A. Приближенная перекрестная проверка без учета будущего для байесовских моделей временных рядов. Журнал статистических вычислений и моделирования. 2020; 90 (14): 2499–2523.
61. 61. Робертс Г.О., Твиди Р.Л. Экспоненциальная сходимость распределений Ланжевена и их дискретные приближения. Бернулли. 1996. 2 (4): 341–363.
62. 62. Worden L, Wannier R, Hoff NA, Musene K, Selo B, Mossoko M и др. Прогнозы передачи эпидемии и оценка воздействия вакцинации во время продолжающейся вспышки болезни, вызванной вирусом Эбола, на северо-востоке Демократической Республики Конго по состоянию на февраль.25, 2019. PLOS Забытые тропические болезни. 2019; 13 (8): e0007512. pmid: 31381606
63. 63. Funk S, Camacho A, Kucharski AJ, Lowe R, Eggo RM, Edmunds WJ. Оценка эффективности прогнозов эпидемии в реальном времени: тематическое исследование лихорадки Эбола в западном регионе Сьерра-Леоне, 2014-15 гг. PLOS вычислительная биология. 2019; 15 (2): e1006785.
64. 64. Peixoto PS, Marcondes D, Peixoto C, Oliva SM. Моделирование будущего распространения инфекций с помощью данных мобильного геолокации и динамики населения.Приложение к COVID-19 в Бразилии. PLOS ONE. 2020; 15 (7): e0235732.
65. 65. Killick R, Eckley I. changepoint: пакет R для анализа точек изменения. Журнал статистического программного обеспечения. 2014; 58 (3).
66. 66. ДиМаттео I, Дженовезе CR, Kass RE. Аппроксимация байесовской кривой с помощью шлицев со свободными узлами. Биометрика. 2001. 88 (4): 1055–1071.
67. 67. Королевское общество. Число воспроизводств (R) и темп роста (r) эпидемии COVID-19 в Великобритании: методы оценки, источники данных, причины неоднородности и использование в качестве руководства при формулировании политики; 2020.
68. 68. Ли С., Се И, Фараджтабар М., Верма А., Сон Л. Обнаружение изменений в динамических событиях в сетях. IEEE Transactions по обработке сигналов и информации по сетям. 2017; 3 (2): 346–359.

10 самых захватывающих лунок в туре PGA | Снаряжение для гольфа: клюшки, мячи, сумки

В список включены только ежегодные остановки

В рамках этой галереи мы подсчитываем только дыры, которые профессионалы видят в турнирах, исключая живописное 16-е место Cypress Point, и поля, которые они видят каждый год, давая преимущество таким жемчужинам, как Road Hole в St.Эндрюс или пятый в Пайнхерсте № 2.

TPC Sawgrass — 17-я лунка

17-е здание в Сограссе — один из самых дублируемых проектов в мире, но никто не может повторить драму, которая разворачивается здесь во время Чемпионата игроков.Об этом недавно свидетельствовали три птички Рики Фаулера во время последнего раунда на лунке (две в формате плей-офф), чтобы захватить пятый крупный турнир по гольфу в 2015 году. Это связано с сушей. Мое образование в Огайо привело меня к мысли, что это называется полуостровом.

TPC Скоттсдейл — 16-я лунка

Дыра сама по себе не так уж и велика; многие наблюдатели отметили, что 17-я лунка — управляемый пар 4 — даст лучший театр.Но со здоровой историей незабываемых моментов, от лунки Тайгера Вудса до печально известных гонок кэдди, статус 16-го места как одной из визитных карточек тура неоспорим.

Перепелиная лощина — 18-я лунка

Конгрессмен — новая 18-я лунка

Ранее предпоследняя лунка в Конгрессе — старый No.18, в то время как эстетически приятный пар 3 над озером и на фоне здания клуба, был невзрачным с точки зрения игрока — участники поумнели и изменили расположение поля. Теперь Congressional завершает игру пар 4 на 466 ярдов, которая изгибается под гору, но требует точного удара с мишени на лужайку, охраняемую водой.

Автор фото: Getty Images

Нэшнл Огаста — 15-я лунка

Я уверен, что есть контингент, который будет кричать, ссылаясь на Нет.13, где выиграна или проиграна зеленая куртка. Другие поручатся за 12-е или 16-е, как за эпицентр ажиотажа Августы. Черт, вы могли бы привести доводы в пользу того, что вся задняя девятка гарантирует место в этом списке. Однако, учитывая, что здесь легко добраться и орла, и двойного призрака, в сочетании с самой интимной структурой покровителей на Masters, 15-й получает наш голос.

Автор фото: Getty Images

Kapalua Resort — 18-я лунка

Превосходство Джордана Спита на Турнире чемпионов в этом году было отклонением от нормы.Четыре из шести предыдущих поездок в Капалуа были решены инсультом или внезапной смертью. А 18-я лунка курорта — небольшая 663-ярдовая пар 5, обычно уносимая ветром — обеспечивает идеальную платформу для выбора турнира.

Автор фото: Getty Images

Деревня Мюрфилд — 14-я лунка

Я далек от того, чтобы рассказывать Джеку Никлаусу — только величайшему игроку в гольф и одному из 20 лучших архитекторов всех времен — как организовать турнир.НО, если бы я был Золотым Медведем, я бы переместил ти-бокс на № 14, который обычно колеблется в районе 340 ярдов, чтобы побудить больше игроков попробовать себя на грине. Конечно, даже в нынешней конфигурации яма — охраняемая ручьем, к которой примыкают бункеры и глубокая бурная дорога — одна из лучших в туре, так что, возможно, нам стоит выбросить это предложение из окна.

Автор фото: Getty Images

Галечный пляж — 18-я лунка

Pebble Beach имеет в своем составе множество фирменных дыр — No.7, No. 8, No. 17 — но закрывающая пар-5 постоянно дает самый сильный удар с точки зрения, которую обязательно нужно увидеть. На дистанции 550 ярдов это не проблема для профессионалов. И наоборот, знаменитое дерево фарватера ставит во главу угла судоходство. А 100-ярдовый бункер, охраняющий побережье, добавляет как оптику, так и испытательный штрих к финишной лунке, делая 18-й бункер одним из лучших в мире.

Автор фото: Getty Images

Ривьера — 10-я лунка

Автор фото: US PGA TOUR

TPC River Highlands — 15-я лунка

Это включение может удивить некоторых, поскольку, несмотря на то, что чемпионат Travelers Championship очень хорошо организован и посещается, он не будет считаться одним из событий высшего эшелона тура.Но TPC Highlands, несомненно, с точки зрения зрителя и игрока, является одним из самых увлекательных мест в турне. 15-е является воплощением этого настроения. Менее 300 ярдов эта дыра кажется легко достижимой с ти. Увы, холмистая зелень с озером слева и песком справа приносит больше укусов, чем указано в таблице результатов. Литье — дело непростое: узкий фервей окружен глубокими неровностями, деревьями и песком.

Автор фото: Getty Images